mercredi 16 février 2011

Oscillateur de Van der Pol

L'oscillateur de Van der Pol est un système dynamique différentiable à temps continu et à un degré de liberté, du nom de Balthasar van der Pol. Il est décrit par une coordonnée x(t) vérifiant une équation différentielle faisant intervenir deux paramètres :
  • une pulsation propre ω0 ;
  • un coefficient de non-linéarité ε.
  • Lorsque ε = 0, cet oscillateur se réduit à un oscillateur harmonique pur.

Oscillateur libre

L'équation différentielle de l'oscillateur libre s'écrit :
\frac{d^2x(t)}{dt^2} \ - \ \epsilon \, \omega_0 \ \left(1 - x^2(t) \right) \; \frac{dx(t)}{dt} \ + \ \omega_0^2 \ x(t) \ = \ 0
Lorsque \epsilon \ne 0, ce système dissipatif possède une dynamique régulière caractérisée par un attracteur en forme de cycle limite, représenté sur la figure ci-dessous (où on a posé ω0 = 1) :
Van der Pol phase space.png
 Oscillateur forcé
Lorsque cet oscillateur est excité par un terme harmonique à la pulsation ω, son équation différentielle devient :
\frac{d^2x(t)}{dt^2} \ - \ \epsilon \, \omega_0 \ \left(1 - x^2(t) \right) \; \frac{dx(t)}{dt} \ + \ \omega_0^2 \ x(t) \ = \ \omega_0^2 \ X \ \cos (\omega t )

( source : Wikipédia )


Oscillations

Portrait de phase
( source : cpge.pissarro )


Au regard des mesures et autres connaissances , le rayonnement électromagnétique pulsé et ciblé utilise dans son dispositif un oscillateur de type Van Der Pol 

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